Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу (необязательно целому). Известно, что сумма трёх чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - целое число.
Можно ли утверждать, что сумма трёх чисел в вершинах любого треугольника - тоже целое число?

все молчат, слишком сложно) давай следующую задачу)

(0) Часы?

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/53774/53774/

(2) что часы?
(1) думаем... думаем

(3) ну раз такой умный, то закончи решение

(4) А это разве не загадка?

(6) нет, это задачка ))

Как всё сложно...

Расположим в точках деления числа:
а[n] = (n mod 3)/ 3
Тогда для каждого равнобедренного треугольника с вершинами  под номерами n, n+k, n+2k будет
а[n] + а[n+k] + а[n+2k] =
(n mod 3)/ 3 + ((n+k) mod 3)/ 3 + ((n+2k) mod 3)/ 3 =
((3n + 3k) mod 3)/ 3
целое число
В то же время для неравнобедренного треугольника с вершинами в точках 1,2,4 будет
а[1] + а[2] + а[4] = 1/3 + 2/3 + 4/3 = 7/3
нецелое

Отбрасываем от всех целую часть, как незначащую в данных условиях.
Тогда числа противоположных точках должны быть равны.
Пусть на 12 и 6 часов стоит X, на 3 и 9 часов - Y.
Имеем систему
2X+Y - целое (0,1,2)
2Y+X - целое (0,1,2)
При различных вариантах решения будут (0,0), (0,1), (1/3,1/3), (2/3,2/3)
Аналогично для других четверок.
Плюс шаг доказательства, что в разных четверках не могут быть решения из разных серий: либо целые, либо дробные 3. Для этого можно рассмотреть общую сумму

(9)+
а[1] + а[2] + а[4] = 1/3 + 2/3 + 1/3 = 4/3

А можно расположить в узлах числа 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, ... ,12/3
Фактически получим то же самое решение, что и в (9). Это если пройти по ссылке в (3)

Подводя итоги
сумма трёх чисел в вершинах любого треугольника не обязательно целое число,
но умноженная на 3 эта сумма - целое число.

нельзя

аааа, равнобедренные, а я думал равносторонние