![]() |
|
Факториал, простое число и количество решений | ☑ | ||
---|---|---|---|---|
0
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
14:31
|
Конечно или бесконечно число решений уравнения:
(p-1)!+1 = p^n где p - простое число, а n - натуральное число. |
|||
1
Йохохо
02.09.13
✎
14:38
|
т.е. оценить количество таких пар (p, n) при которых (0)?
|
|||
2
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
14:39
|
(1) типа того
|
|||
3
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
14:51
|
Для любого простого p выражение (p-1)!+1 делится на p
|
|||
4
Барбариска
02.09.13
✎
14:53
|
(3) ну да, теорема Эйлера )
А к чему задача из (0) ? Просто ностальгия по математике? Или из практического приложения? |
|||
5
sda553
02.09.13
✎
14:54
|
(3) Каковы ващи доказательства!
|
|||
6
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
14:55
|
(4) это не теорема Эйлера
(5) это теорема Вильсона |
|||
7
sda553
02.09.13
✎
14:58
|
Тогда из (3) следует бесконечность количества решений
|
|||
8
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
15:00
|
(7) почему?
|
|||
9
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
15:01
|
(p-1)! = p^n-1 = (p-1)*(p^(n-1)+ ... + p + 1)
(p-2)! = p^(n-1)+ ... + p + 1 |
|||
10
sda553
02.09.13
✎
15:01
|
(8) Потому что множество простых чисел бесконечно и мы имеем бесконечное количество p решающих уравнение
|
|||
11
sda553
02.09.13
✎
15:02
|
при n=1
|
|||
12
Ненавижу 1С
гуру
02.09.13
✎
15:02
|
(10) то есть для любого p есть решение?
почему тогда его нет для p=7? |
|||
13
sda553
02.09.13
✎
15:02
|
что то гоню я, сорри, обедать пора
|
|||
14
sda553
02.09.13
✎
15:03
|
Я знак равно протрактовал как "делится" почему то
|
|||
15
Нуф-Нуф
02.09.13
✎
15:11
|
всю ветку не читал. "нах?" уже было?
|
|||
16
Ненавижу 1С
гуру
03.09.13
✎
10:52
|
Для p=2,3,5 решения очевидны
Рассмотрим p>5 Факт 1. 2 < (p-1)/2 < p-2 значит 2 и (p-1)/2 входят множителями в (p-2)! то есть (p-2)! делится на 2*(p-1)/2 = p-1 или (p-2)! = R*(p-1), где R - целое Факт 2. для любого целого k>0 (p^k-1) делится на (p-1) то есть p^k = 1+(p-1)*Q(k), где Q(k) - целое Рассмотрим тождество из (9) (p-2)! = p^(n-1)+ ... + p + 1 согласно Факт 1 и Факт 2 можно переписать: R*(p-1) = (1+(p-1)*Q(n-1))+(1+(p-1)*Q(n-2))+ ... + (1+(p-1)*Q(1)) + 1 R*(p-1) = (1+...+1) + (p-1)*(Q(n-1)+...+Q(1)) (1+...+1) - здесь ровно n единиц, остальные слагаемые делятся на (p-1) значит n=k*(p-1)>=p-1 оценим теперь (p-2)! (p-2)! > p^(n-1) >= p^(p-2) - противоречие При p>5 решений нет |
Форум | Правила | Описание | Объявления | Секции | Поиск | Книга знаний | Вики-миста |