Вечер добрый!
Собственно, как отправить запрос, а затем идти дальше, не ждать ответ?

Соединение = Новый HTTPСоединение(СтрокаЗапроса);
            ФайлTXT = ПолучитьИмяВременногоФайла("txt");
            Соединение.ОтправитьДляОбработки("", ФайлTXT);

(0) На "той стороне" получай данные, проверяй на валидность и сразу возвращай ответ, что, мол, все нормально, инструкции получены и приняты к обработке. А потом данные обрабатывай в фоне.

(0) помести свой код в фоновое

Ну или если нет возможности повлиять на "ту сторону", то запускай функцию, которая отправляет запрос, в фоне. То есть, функцию в фоне запустил и или дальше. Функция запрос отправила и ждет результата. Дождалась - сделала с результатом что надо. А ты в удобное время за этим результатом зайдешь.

(1) Суть такая, что запрос отправился, дальше мне не интересно, что там будет в ответе, сам запрос по результату зайдет в мой web-сервис, где обработается как надо, а здесь меня интересует только отправка запроса.

(4) Тогда вариант (3): запускай запрос в фоновой процедуре, она все что надо отправит и сколь угодно долго сможет ждать ответа от сервера (ну или отвалится по таймауту, если не дождется), не влияя на работу алгоритма, который эту процедуру запустил.

(4) А как ты узнаешь, что запрос вообще дошел до адресата?
200 по любому нужно получить в ответ. Даже без обработки, как гарантия что "посылка получена".

(6) Можно на стороне БД отправителя запроса логировать исходящие запросы. На стороне БД получателя логировать входящие запросы. Далее сопоставлять на любой стороне (лазая в другую БД), что было отправлено и что было принято.

В любой системе это называется асинхронные запросы.
если под виндой,то можно прикрутить ServerXmlHttpRequest,он так умеет и вызывает событие.
Насколько я помню,1с умеет обрабатывать события от COM-серверов.